Anti Turunan

Anti Turunan ( Integral Tak-tentu)

Sebuah Fungsi F(x) dikatakan anti turunan dari fungsi f(x), jika F’(x) = f(x) untuk semua x ε D_f.

F(x) adalah anti turunan dari f(x) dimana F(x) tidak tunggal. Antiturunan yangf tidak tunggal itu dinotasikan oleh Leibniz sebagai berikut:

ʃ f(x) dx = F(x) + C

Notasi ʃ f(x) dx = F(x) + C disebut integral tak tentu dimana F’(x) = f(x), f(x) disebut integran,F(x) disebut fungsi primitif, dan C disebut konstanta integrasi.

Teorema A

(aturan Pangkat). Jika r adalah sembarang dilangan rasional kecuali – 1, maka:

ʃ f(x) dx = x ^{r +1} + C

r + 1

Teorema B

ʃ sin x dx = - cos x + C ⇛ ʃ cos x dx = sin x +C

Teorema C

(Kelinearan dari ʃ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti-turunan dan k adalah suatu konstanta. Maka:

• ʃkf (x) dx = k ʃf (x) dx

• ʃ [f(x) + g(x)] dx = ʃ f(x) dx + ʃ g(x) dx

• ʃ [ f(x) – g(x)] dx = ʃ f(x) dx– g(x) dx

Teorema D

(Aturan Pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat dideferensialkan dan r suatu bilangan real bukan – 1, maka:

ʃ [ g(x)^r g’ (x) dx = [ g(x)] ^{r+ 1} + C

r + 1

Penfgantar Untuk persamaan Diferensial

Dalam Bahasan sebelumnya, kita mengintegralkan suatu fungsi f untuk memperoleh suatu fungsi baru F. Kita tuliskan

ʃ f(x) dx = F(x) + C

ʃ dF(x) dx = F(x) + C

dan ini adalah benar,asalkan F’(x) = f(x). Dalam bahasan Diferensial, F’(x) = f(x) setara dengan dF(x) = f(x) dx.Sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

ʃ dF(x) dx = F(x) + C

Dari tinjauan ini, kita mengintegralkan diferensial suatu fungsi untuk memperoleh fungsi tersebut (tambah suatu konstanta).Hal tersebut merupakan pandangan Liebniz.

Persamaan Diferensial merupakan persamaan yang tidak diketahui berupa suatu fungsi dan mencakup turunan dari fungsi yang tidak diketahui tersebut. Menyelesaikan suatu persamaan Diferensial adalah mencari fungsi yang tidak diketahui.

Contoh Soal

1. Cari Integral taktentu dari ʃ (3 sin x – 2 cos x)dx

Penyelesaian:

ʃ(3 sin x – 2 cos x)dx = 3 ʃ sin x dx – 2 ʃ cos xdx

= 3 ( - Cos x) – 2( Sin x) + C

= -3 Cos x – 2 sin x + C

2. Tentukan Integral taktentu dari ʃ y² (y² - 3) dy

Penyelesaian:

ʃ y² (y² - 3) dy = ʃ( y⁴ – 3y²) dy

= ʃ y⁴ dy – ʃ 3y² dy

= 1/5y⁵ – y³ + C

3. a. Selesaikan Persamaan Diferensial

dy = 4x² + 5x

dx y²

b. kemudian cari penyelesaiannya jika y = 4 dan x = 0

Penyelesaian :

a. dy = 4x² + 5x

dx y²

y² dy = 4x² + 5x dx

jadi, ʃ y² dy = ʃ 3x² + 5x dx

y³/3 + C₁ = x³ + 5/2 x² + C₂

y³ =3 x³ + 15/2 x² +3 (C₂ – C₁)

y = (3 x³ + 15/2 x² + C)^1/3

b. Untuk menghitung Konstanta C, Kita gunakan y = 4 dan x = 0

4 = ³√C

64 = C

jadi,

y = ³√ (3 x³ + 15/2 x² + 64)