Pengunaan Turunan

Penggunaan Turunan

A. Maksimum dan minimum

Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna menjalankan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang kepala pabrik akan menekan biaya sekecil muingkin untuk biaya pendistribusian produknya. Masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan meminimumkan funsi tertentu.Bila demikian, metode kalkulus menyediakan sarana yang tepat untuk memecahkan masalah itu.

Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S. Tugas kita yangpertama adlah menentukan apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimumpada S. Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada, kita ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Akhirnya, kita dapat mengetahui nilai-nilai maksimum dan minimum.

Definisi:

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Maka diperoleh:

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) >/f(x) untuk semua x di S;

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maks-Min ). Jika F kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimuim dan minimum.

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefenisikan pada selang I yang memuat titik c . Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

(i) titik ujung dari I

(ii) titik stasioner dari f(f’(c) = 0);

(iii) titik singulaer dari f (f’(c) tidak ada)

B. Maksimum dan Minimum Lokal

Kita ingat kembali bahwa nilai maksimum suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan S .Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global atau absolut dari f . Jadi, untuk fungsi f dengan daerah asal S = [a,b], f(a) adalah nilai maksimum global dan f (c) kita sebut nilasi maksimum lokal atau relatif.

Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksiomum lokal. Hal itu berarti bahwa nilai maksimum global hanyalah yang terbesar diantara nilai-nilai maksimum lokal. Dan juga, nilai minimum global adalah yang terkecil diantara nilai- nilai minimum lokal.

Definisi :

Andaikan S daerah asal,f memuat titik c. Kita katakana bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sedemikian sehiungga f(c) adalah nilai maksimum local pada (a.b) ∩ S ;

(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sehingga f(c) adalah nilai minimum lokal pada (a.b) ∩S ;

(iii) f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Teorema A

(uji turunan Pertama untuk Ekstrim local). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f ‘(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x)<>

(ii) Jika f ‘(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f’(c) adalah nilai minimum lokal f

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihjak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Tureunan kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ danf’’ pada setiap titik dalam setiap selang terbuka (a,b ) yang memuat c dan andaikan f’(c) = 0

(i) Jika f” (c) <>

(ii) Jika f” (c) > 0,f(c) adalah nialai minimum local f

C. Kemonotonan dan Kececukangan

Definisi :

Misalkan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

1. f adalah naik pada I jika untuk setiap paqsang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1<>

2. f adalah turun padad I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 > x2 → f(x1) > f (x2)

3. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema A

(Teorema Kemonotonan). Misalkan f kontinu pada selang I dan dap[at dideferensialkan pada setiap tititk dalam dari I.

1. Jika f ‘(x) > 0 untuk semua tititk dalam x dari I, maka f naik pada I

2. Jika f ‘(x) <>

Definisi:

Misalkan f terdeferensial pada selang terbuka I (a, b). Jika f naik pada I, f ‘ (dan grafiknya ) cekung keatas. Sedankan, jika f ‘ turun pada I, f cekung kebawah pada I.

Teorema B

(Teorema Kecekungan). Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka (a,b).Maka diperoleh:

1. Jika f ” (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung keatas pada (a,b)

2. Jika f ” (x) <>

D. Penerapan Masalah-masalah Maksimum dan Minimum

Dalam subbab ini, kita akan membahas perhatian pada masalah maksimum minimum. Ketika kita menghadaqpimasalah seperti ini, ada langkah yang sangat penting yaitu kita harus menentukan besaran yang dimaksimumkan atau diminimumkan. Besaran ini akan menjadi variable tak terbatas dalam menyelesaikan masalah itu.

Variabel tak terbatas ini harus dinyatakan sebagai variable bebas, yang mengontrol nilai- nilai variable tak bebasnya. Jika domain dari nilai-nilai variable tak bebasnyua adalah interval tertutup, maka kita bias memprosesnya dengan menggunakan metode maksimum-minimum interval tertutup. Langkah- langkah menyalesaikannya adalah sebagai berikut :

1. Carilah besaran yang dimaksimumkam atau diminimumkan. Besaran ini seharusnya dinyatakan dengan suatu kata atau frase dan label(huruf) yang merupakan variable tak bebas. Variabel ini tergantung pada suatu yang akan menjadi variable bebas. Kita menotasikannya sama dengan x.

2. Menyatakan Variabel tak bebas sebagai funsi dari variable bebas.Gunakan informasi dalam masalah unhtuk menuliskan variable tak bebas sebagai fungsi variable bebas (x).

3. Menerapkan kalkulus untuk mencari titik kritis. Menghitung turunan f’ dari fungsi f yang diperoleh dalam langkah 2. Gunakan turunan untuk mendapat titik kritis

f’(x) = 0 dan f’(x) tidak ada

3. Identifikassi titk ekstrim. Evaluasi nilai f disetiap titik kritis dalam domainnya dan kedua titik ujungnya. Nilai-nilai yang diperoleh menentuikan maksimum mutlak dan minimum mutlak.

4. Menjawab pertanyaan dalam masalah. Dengan kata lain, interpretasikan hasil-hasil yang diperoleh. Jawaban dari maslah semula bias merupakan suatu yang lain dari nilai terbesar atau terkecil dari f . Berikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan yang ditanyakan sebelumnya.

E. Penerapan Ekonomik

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah Ekonomi sebenarnya masalah kalkulus biasa yang berbaju baru.

Pandang sebuah Perusahaan Khas, PT.Honda Motor tbk. Untuk Memudahkan anggap bahwa Perusahaan itu menghasilkan dan memasarkan sebuah barang seprti mobil,motor, dsb. Jika perusahaan tersebut menjual x satuan barang tahun ini , PT. Honda akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukan bahwa p tergantung pada x karena bila mana Honda memperbesar keluarannya , kemungkinan Honda akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjuakl seluruh hasil keluaraanya. Pendapatan total yang dapat diharapkan Honda diberikan oleh R(x) = xp(x),sebanyak satuan kali harga tiap satuan.

Konsep dasar Untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x),yakni selisih antara pendapatan R(x) dan Biaya Produksi C(x).

P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)

F. Limit diketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Konsep “tak-terhingga”, telah mengilhami dan menggoda para matematikawan sejak jaman dahulu.Masalah yang paling dalam dan paradoks besar dari matematika seringkali jalin menjalin dengan pemakaian perkataan ini. Kemajuan matematika sebagian dapat diukur dalam bentuk pemahaman peranan dari ketakhinggaan. Kita telah memakai lambang - lambang  dan - dalam notasi untuk selang - selang tertentu.

Definisi:

1. (Limit bila x → ~).Andaikan f terdefinisi pada [c,~) untuk suatu bilangan c. Kita katakan bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing e< 0,
x → 0

terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga:

x >M → [ f(x) – L ] <>

2. (Limit bila x → - ~).Andaikan f terdefinisi pada (- ~,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing e > 0, terdapat bilangan M
x → 0

yang berpadanan sedemikian sehingga:

x >M → [ f(x) – L ] e <>

3. (Limit- limit takterhingga). Kita katakana bahwa Lim f (x) = ~jika untuk tiap bilangan positif M, Berpadanan suatu e <0 sedemikian sehingga

0 < style="font-family:Symbol, serif;">d → f(x) > M

G. Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus telah menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik sewcara baik khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titk maksimum local, titik-titk minimum local, dan titik-titik balik, kita dapat menentukan dimana grafik naik atau grafik cekung keatas.

Dalam menggambar grafik fungsi ada beberapa prosedur yang akan sangat membantu,yaitu :

Langkah 1: Buat analisis pendahuluan sebagai berikut

1. Periksa daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidang yang dikecualikan.

2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau gannjil? )

3. Cari perpoptongan dengan sumbu-sumbu koordinat

4. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis dan untuk mengetahui tempat – tempat grafik naik dan turun

5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimumlokal

6. Gunakan turunan kedua untuk untukmengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah serta untuk melokasikan titik-titik balik

7. Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2: Gambarkan beberapa titik (termasuk semuatitik kritis dan titik balik).

Langkah 3: Sketsakan Grafik

H. Teorema Nilai Rata-rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting atau mempesona bagi dia sendiri tetapi sering kali melahirkan teorema-teorema yang cukup berarti.

Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata–rata mudah dinyatakan dan dipahami.Teorema mengqatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertical pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung titikC sejajar dengan tali busur AB.

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan ).Jika f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling se4dikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f (b ) – f(a) = f ‘(c)(b – a )

atau

f(b) – f (a ) = f ’(c)(b – a )

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a.b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G (x) + C

untuk semua nilai x dalam (a,b)

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Carilah Nilai maksimum dan Minimum dari persamaan:

f(x) = 4x³ – 6x² –9x – 14

Pembahasaan: f(x) akan mencapai nilai maksimum jika f ’(x) = 0,dan f”(x) <> 0

f(x) = 4x³ – 6x² –9x – 14

f ‘(x) = 12x² – 12x – 9 = 0

3(4x² – 4x – 3 ) = 0

3(2x – 3 )(2x + 1) = 0

x = 3/2 atau – ½

f “(x) = 24x – 12

• X = 3/2 f “ (x) = 24(3/2) – 12

= 36 – 12

= 24 (karena 24 > 0 maka nilai minimum terjadi di x = 3/2)

f(3/2) = 4(3/2)³ – 6(3/2)² – 9(3/2 ) – 14

= 4(27/8) – 6(9/4) – 9(3/2) – 14 = - 55/2 (nilai minimum)

• X = - 1/2  f “ (x) = 24(-1/2) – 12

= – 12 – 12

= – 24(karena - 24 < x =" -1/2)">

f(-1/2) = 4(-1/2)³ – 6(-1/2)² – 9(-1/2 ) – 14

= 4(-1/8) – 6(1/4) + 9(1/2) – 14

= 5/2 – 14 = - 22/2 (nilai maksimum)

2. Diketahui jumlah dua bilangan sama dengan 30. Jika perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum. Maka nilai maksimum tersebut adalah…..

Pembahasan:

Misalkan salah satu bilangan itu adalah c, maka bilangan yang lain 30 – c. Perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan lainnya dirumuskan sebagai berikut

• A = (30 – c )c²

= 30c² – c³

A ‘ = 0 → 60c – 3c² = 0

3c(20 – c ) = 0

c₁ = 0, atau c₂ = 20

Nilai maksimum diperoleh bila c = 20

A = (30 – 20) (20)²

= 10 x 400 = 4000

3. Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak diotentukan sebesar 432cm², maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah…….

Pembahasan:

• Luas kotak = a² + 4at = 432

t = 432 – a²

4a

• Volume kotak : V = a²t

= a² 432 – a²

4a

= 108 a – ¼ a³

• V maks = V ‘ = 0

108 – ¾ a² = 0

a2 = 144

a = 12cm

V = 108 (12) – ¼ (12)³

= 1296 – 432 = 864cm³

4. Seorang Pedagang membeli roti seharga Rp2.000,00 per buah. Dijual dengan laba Rp500,00 per buah, sedangkan donat seharga Rp 1.500,00 per buah dijual dengan laba Rp300,00 per buah. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp850.000,00. Jika tokonya hanya dapat menampung 500 buah, maka keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah…

Pembahasan:

	Roti (x)	Donat(y)
Laba	500	300

Laba maksimum = 500x + 300y

1. 2000x + 1500y = 850.000

2. x +y = 500

3. y = 500 – x

Subtitusikan persamaan (3) ke (1)

2000x + 1500(500 – x ) = 850.000

2000x + 750000 – 1500x = 850.000

500x = 100.000

x = 200

subtitusi x = 200 ke (3)

y = 500 – 200 = 300

Laba maksimum = 500x + 300y

= 500(200) + 300(300)

= 100.000 + 90.000

= 190.000

Jadi, laba maksimumnya Rp190.000,00

5.Kawat sepanjang 48 cm akan dibuat kerangka seprti pada gambar dibawah. Agar luasnya maksimum panjang kerangla (p) adalah ….

l

l

p

Pembahasan :

Agar luas maksimum maka L ‘ = 0

Keliling (K) = 3p + 4l = 48

4l = 48 – 3p L’ = 24 – 3p = 0

l = 12 – 3/4 p p = 8

Luas (L) = 2p x l

= 2p x (12 – 3/4p) Jadi, panjang kerangka (p) adalah 8 cm

= 24p – 3/2p²

6. Keliling suatu Persegi panjang adalah 8cm dan panjangnya (3 – x ) cm.Persegi panjang tersebut mencapai luas maksimum untuk x = ……..

Pembahasan:

*) Keliling K= 2(p + l ) *) Luas L = p x l

8 = 2(3 – x +l) = (3 – x ) ( 1 + x)

8 = 6 – 2x +2l = ( 3 + 2x – x²)

2l = 2 – 2x

l = 1 + x

Maksimum pada L ‘ = 0

L ‘ = 2 – 2x = 0

2x = 2

x = 1

Jadi, nilai x adalah 1

7. Dua kebun berdampingan yang masing – masing berukuran x m, dan y m, dan luas keseluruhan 24 m2 Supaya panjang pagar yang diperlukan sedikit mungkin, maka panjang x dan y adalah……

Pembahasan:

*) Luas = 2 . xy *) Keliling (K) = 3x + 4y = 3x + 4(12/x)

24 = 2xy Jadi K ‘ = 3 – 48/x² = 0

xy = 12 - 48 = - 3x²

y = 12/x x²= 16  x = 4

xy = 12  y = 3

Jadi, Panjang x = 4dan y = 3

8.Seorang pedagang mempunyai gudang yang hanya dapat menampung 90 peti barang. Setiap peti barang A dibeli dengan harga Rp200.000,00 dan akan dijual kembali dengan laba Rp 40.000,00. Setiap peti barang B dibeli dengan Harga Rp100.000,00, akan dijual dengan laba Rp15.000,00.Jika modal yang tersedia Rp13.000.000,00. Maka laba maksimum yang diperoleh adalah ……

Pembahasan:

	Barang A(x)	Barang B (y)
Laba	40.000	15.000

Laba maksimum = 40.000x + 15.000y

(1)200.000x + 100.000y = 13.000.000

(2)x +y = 90

(3)y = 90 – x

Subtitusikan persamaan (3) ke (1)

200.000x + 100.000(90 – x ) = 13.000.000

2x + (90 – x ) = 130

x = 40

y = 90 – 40 = 50

Laba maksimum = 40.000(40) + 15.000(50)

= 1.600.000 + 750.000

= 2.350.000

Jadi, Laba maksimumnya adalah Rp 2.350.000,00